计算机系统 I | Sec 01-3

课件和翻译整理

一、数值数据的表示

1. 无符号与有符号整数

• 等价性 (Equivalence)：非负数值的编码在无符号和补码（Two's Complement）中是相同的。
• 单值性 (Uniqueness)：
  • 每个位模式代表唯一的整数值。
  • 每个可表示的整数有唯一的位编码。
  • 这意味着映射是可逆的：$U2B(x)=B2U^{-1}(x)$，$T2B(x)=B2T^{-1}(x)$。
• 示例对比 (4位)：
  • 0000 ~ 0111 (0-7)：无符号和有符号表示相同。
  • 1000 ~ 1111：无符号表示为 8-15；有符号（补码）表示为 -8 ~ -1。

2. 符号扩展 (Sign Extension)

• 任务：将 $w$ 位有符号整数转换为 $w+k$ 位，保持数值不变。
• 规则：复制 $k$ 份符号位（最高有效位 MSB）到高位。
  • 公式：$X^{\prime }=x_{w-1},\dots ,x_{w-1},x_{w-1},x_{w-2},\dots ,x_0$ （$k$ 个 MSB）。

3. 乘法运算示例

• 演示了二进制乘法的位移和相加过程。
• 负数乘法：通过补码进行，注意符号位的处理及结果的正确性（如 $-7\times 4=-28$）。

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二、定点数与浮点数基础

1. 定点数表示 (Fixed-point)

• 原理：小数点隐含在 $w$ 位编码的固定位置。
• 局限性：
  • 近似表示：只能精确表示形如 $x/2^k$ 的数值。其他有理数（如 1/3, 1/5, 1/10）会有无限循环的二进制表示。
  • 范围限制：有限的位数限制了能表示的数值范围（非常大或非常小的数难以表示）。
  • 灵活性差：无法动态调整小数点位置以适应不同量级的数据（如 123.456）。

2. 浮点数表示 (Floating-point)

• 核心思想：对形如 $V=M\times 2^E$ 的有理数进行编码，适合表示极大或极小的数。
• IEEE 754 标准：
  • 由 William Kahan 设计，1985年确立，成为统一标准。
  • 支持所有主流 CPU，定义了优雅的舍入、溢出和下溢处理机制。

IEEE 754 编码结构

数值形式：$(-1{)}^s\times M\times 2^E$

• $s$ (Sign)：符号位，0为正，1为负。
• $M$ (Significand)：尾数，通常是 $[1.0,2.0)$ 范围内的二进制小数。
• $E$ (Exponent)：阶码，权重为 $2^E$。
• 字段：
  • s：1位。
  • exp：阶码字段（编码 $E$，但不等于 $E$）。
  • frac：小数字段（编码 $M$，但不等于 $M$）。

精度格式

类型	总位数	s	exp (位)	frac (位)	Bias
单精度 (Single)	32	1	8	23	127
双精度 (Double)	64	1	11	52	1023
扩展精度	80 (Intel)	1	15	64	16383

三种数值情况

1. 规格化数 (Normalized Values)

   • 条件：exp 不全为0且不全为1。
   • 阶码：$E=\text{Exp}-\text{Bias}$ （偏置表示法，便于比较大小）。
   • 尾数：$M=1.\text{frac}$ （隐含前导1，增加一位精度）。
   • 范围：单精度 $E\in [-126,127]$。

2. 非规格化数 (Denormalized Values)

   • 条件：exp 全为0。
   • 目的：解决“突然式下溢出”，填补最小规格化数与0之间的巨大空隙，实现“渐进式下溢出”。
   • 阶码：$E=1-\text{Bias}$。
   • 尾数：$M=0.\text{frac}$ （隐含前导0）。
   • 特殊情况：若 frac 也为0，则表示 0（有 +0 和 -0 之分）。

3. 特殊值 (Special Values)

   • 条件：exp 全为1。
   • 无穷大 ($\mathrm{\infty }$)：frac 全为0。表示溢出运算结果（如 $1.0/0.0$）。
   • 非数 (NaN)：frac 不全为0。表示未定义的运算结果（如 $\sqrt{-1}$, $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$）。

浮点数分布特性

• 数值越接近0，分布越密集；数值越大，分布越稀疏。
• 非规格化数确保了从最小正数到0的平滑过渡。

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三、浮点数运算与性质

1. 基本运算思想

• 加减法：对阶 -> 尾数加减 -> 规格化 -> 舍入。
• 乘法：符号异或，尾数相乘，阶码相加 -> 规格化 -> 舍入。
• 舍入 (Rounding)：
  • 向偶数舍入 (Round-to-Even)：默认模式。当数值恰好在两个可表示值中间时，舍入到最低有效位为偶数的那个值。这能减少统计偏差。
  • 其他模式：向零、向下、向上（用于计算边界）。

2. 数学性质（与实数算术的区别）

• 封闭性：不封闭（可能产生 $\mathrm{\infty }$ 或 NaN）。
• 结合律：不满足。
  • 例：$(3.14+1e10)-1e10=0$，但 $3.14+(1e10-1e10)=3.14$。
• 分配律：不满足。
  • 例：$1e20\times (1e20-1e20)=0$，但 $1e20\times 1e20-1e20\times 1e20=\text{NaN}$ (因溢出)。
• 单调性：基本满足（除 $\mathrm{\infty }$ 和 NaN 外）。

3. C语言中的浮点数

• 类型：float (单精度), double (双精度)。
• 转换：
  • double/float -> int：截断小数部分（向零舍入），溢出或未定义时通常设为 TMin。
  • int -> double：若 int 位数 $\le 53$，可精确转换。
  • int -> float：可能需舍入。

4. 经典灾难案例

• 爱国者导弹失败 (1991)：
  • 原因：用24位浮点数近似表示0.1产生的累积误差。运行100小时后误差达0.34秒，导致拦截失败，28人死亡。
• 阿丽亚娜5号火箭爆炸 (1996)：
  • 原因：软件复用错误。将64位浮点数（水平速度）转换为16位有符号整数时发生溢出。火箭起飞37秒后自毁，损失5亿美元。

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四、非数值数据表示

1. 十进制数的二进制编码 (BCD)

• 8421码 (Weighted BCD)：最常用的加权码，用4位二进制表示1位十进制 (0-9)。
  • 无效码字：1010 ~ 1111 (共6个)。
• 非加权码：如余3码 (Excess-3)、格雷码 (Gray Code)。
  • 格雷码特点：相邻两个编码只有一位不同，常用于减少传输错误。

2. 字符编码

• ASCII：
  • 7位编码，包含94个可打印字符和34个控制字符。
  • 数字 '0'-'9'：0x30-0x39。
  • 大写 'A'-'Z'：0x41-0x5A；小写 'a'-'z'：0x61-0x7A。
  • 大小写转换：翻转第6位 (bit 6)。
• Unicode：
  • 扩展 ASCII 以支持全球语言。
  • 常见实现：UTF-8 (变长，兼容ASCII，互联网最常用), UTF-16, UTF-32。
• 汉字编码：
  • 输入码 -> 机内码 (存储/处理，通常2字节，如GB2312) -> 字形码 (显示)。
  • 机内码 = 国标码 + 8080H (为了与ASCII区分，最高位设为1)。

3. 逻辑值

• 形式上与数值数据相同（0/1序列），通过指令操作码区分（逻辑运算指令 vs 算术运算指令）。

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五、数据宽度与存储

1. 数据单位

• 位 (Bit)：最小单位。
• 字 (Word)：CPU一次处理数据的自然单位（字长）。
  • 32位机器：字长4字节，寻址空间4GB。
  • 64位机器：字长8字节，寻址空间巨大 (理论 $2^{64}$)。
• 容量单位：
  • 二进制前缀 (IEC标准)：KiB ($2^{10}$), MiB ($2^{20}$), GiB ($2^{30}$)...
  • 十进制前缀 (硬盘厂商标注)：KB (${10}^3$), MB (${10}^6$)...

2. C语言数据类型大小 (典型)

类型	32-bit	x86-64
char	1	1
short	2	2
int	4	4
long	4	8
long long	8	8
float	4	4
double	8	8
pointer	4	8

3. 字节序 (Byte Ordering)

• 大端模式 (Big Endian)：最高有效字节存放在最低地址 (Sun, PPC, 网络协议)。
  • 例：0x01234567 存储为 01 23 45 67。
• 小端模式 (Little Endian)：最低有效字节存放在最低地址 (x86, x86-64)。
  • 例：0x01234567 存储为 67 45 23 01。
• 注意：字节序仅针对多字节数据在内存中的排列，不影响单个字节内部的比特序。

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六、总结

计算机系统通过二进制位模式表示各种数据。理解整数（补码）、浮点数（IEEE 754）的编码细节、运算特性（特别是舍入和非结合性）以及非数值数据（字符、字节序）的表示方法，对于编写正确、高效的程序以及避免严重的数值错误至关重要。