积分小结

总结带三角函数的积分

• 乘积形式（如 sin(mx)cos(nx)）：使用积化和差公式化为和差形式积分。
• 有理函数形式（如 1/(a sin²x + b cos²x)）：通过除以 cos²x 或 sin²x，令 (u = \tan x) 或 (u = \cot x)，化为有理函数积分。
• 线性形式（如 1/(a sin x + b cos x + c)）：使用万能公式代换 (t = \tan(x/2)) 化为有理函数积分。
• 其他策略：使用三角恒等式（如 sin²x + cos²x=1、倍角公式）、奇偶幂次代换等。

总结带根号的积分

• 代换法：令根号内表达式为变量（如积分（4）和（5）），或使用指数代换对于幂函数根号。
• 三角代换：对于 √(x²+a²), 令 x = a tan θ；对于 √(x²-a²), 令 x = a sec θ；对于 √(a²-x²), 令 x = a sin θ。
• 完成平方：对于二次根式（如积分（6）），先完成平方再三角代换。
• 有理化代换：对于复杂根号，令整个根号为变量。
• 欧拉代换：适用于一般二次根式，但较少使用。